题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求点的坐标:A ,B ,C , ,AD的中点E ;
(2)求以E为顶点,对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的解析式;
(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标;
(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系?证明你的结论.
【答案】(1) A(0,1),B(0,﹣1),C(4,﹣1),D(4,1),E(2,1);(2) 抛物线y=﹣(x﹣2)2+1经过点C(4,﹣1);(3) P(3,
);(4) S△PEB=
S△PBC,理由见解析
【解析】
(1)根据题意和图象可知OA=OB=1,AD=BC=4,所以(0,1),B(0,-1),C(4,-1),D(4,1),E(2,1);
(2)根据题意可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,把点B(0,-1)代入可得a=-,即可求得二次函数的解析式;
(3)利用直线BD的解析式为y=x-1,和抛物线解析式联立成方程组即可求得交点P的坐标;
(4)分别求出S△PEB和S△PEB,从而得出S△PEB=S△PBC;
解:(1)A(0,1),B(0,﹣1),C(4,﹣1),D(4,1),E(2,1);
(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,
∵抛物线经过点B(0,﹣1),
∴a(0﹣2)2+1=﹣1,解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+1,
经验证,抛物线y=﹣(x﹣2)2+1经过点C(4,﹣1);
(3)直线BD的解析式为y=x﹣1,解方程组得点P的坐标:P(3,
);
(4)S△PEB=S△PBCS△PBC=
×4×
=3,S△PEB=
×(1×2+1×1)=
,
∴S△PEB=S△PBC.
