题目内容

【题目】在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,以AB的垂直平分线为x轴,AB所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求点的坐标:A   ,B   ,C      ,AD的中点E   

(2)求以E为顶点,对称轴平行于y轴,并且经过点B,C的抛物线的解析式;

(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标;

(4)PEB的面积SPEBPBC的面积SPBC具有怎样的关系?证明你的结论.

【答案】(1) A(0,1),B(0,﹣1),C(4,﹣1),D(4,1),E(2,1);(2) 抛物线y=﹣(x﹣2)2+1经过点C(4,﹣1);(3) P(3,);(4) SPEB=SPBC,理由见解析

【解析】

(1)根据题意和图象可知OA=OB=1,AD=BC=4,所以(0,1),B(0,-1),C(4,-1),D(4,1),E(2,1);
(2)根据题意可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,把点B(0,-1)代入可得a=-,即可求得二次函数的解析式;
(3)利用直线BD的解析式为y=x-1,和抛物线解析式联立成方程组即可求得交点P的坐标;

(4)分别求出SPEBSPEB从而得出SPEB=SPBC;

解:(1)A(0,1),B(0,﹣1),C(4,﹣1),D(4,1),E(2,1);

(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+1,

∵抛物线经过点B(0,﹣1),

a(0﹣2)2+1=﹣1,解得a=﹣

∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+1,

经验证,抛物线y=﹣(x﹣2)2+1经过点C(4,﹣1);

(3)直线BD的解析式为y=x﹣1,解方程组得点P的坐标:P(3,);

(4)SPEB=SPBCSPBC=×4×=3,SPEB=×(1×2+1×1)=

SPEB=SPBC

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