题目内容

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，请你测量线段PQ与线段PB的长度（至少两次），将你测量的实际结果填入下表，由此猜想线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系并证明你得到的结论；
线段PQ的长度线段PB的长度
第一次
第二次
（2）当点Q在边CD上时，设线段CQ的长度为y，求y与x之闾的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当点Q在边DC的延长线上时，设线段CQ的长度为y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
（4）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ的面积s能否等于 $数学公式$ 和 $数学公式$ ？如果可能，求出相应的x值；如果不可能，试说明理由．（图①，②，③的形状大小相同，图①供操作、实验用，图②，③备用）．

解：（1）（说明：表略，两线段长度基本相等即可）经测量，得PB=PQ
证明：如图，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，
∵∠PCE=45°，∠PEQ=90°，
∴PE=EC．
∴四边形PFCE是正方形．
∴PE=PF．
∵∠BPF=∠QPE=90°-∠FPQ，∠BFP=∠PEQ=90°，
∴△BPF≌△QPE．
∴BP=PQ；

（2）∵AP=x，CQ=y，
∵AB=BC=1，
∴AC= $\text{[math]}$ ，
∵PFCE是正方形，
∴PC= $\text{[math]}$ -x，
∴CE=1- $\text{[math]}$ x，
∴BF=1-FC=1-（1- $\text{[math]}$ x），
= $\text{[math]}$ x，
∴EQ= $\text{[math]}$ x，
∴y=CQ=（1- $\text{[math]}$ x）- $\text{[math]}$ x=1- $\text{[math]}$ x，
∴y=1- $\text{[math]}$ x（0≤x≤ $\text{[math]}$ ）；

（3）由（2）易证：当点Q在边DC的延长线上时，
∵PC= $\text{[math]}$ -x，利用勾股定理得出：
∴EC=1- $\text{[math]}$ x，
EQ=BF=MP= $\text{[math]}$ x，
CQ=EQ-EC= $\text{[math]}$ x-1
Y= $\text{[math]}$ x-1（ $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ）；

（4）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ的最大面积为 $\text{[math]}$
∴△PCQ的面积不可能是 $\text{[math]}$
当0≤x≤ $\text{[math]}$ 时，

S= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
解得x₁= $\text{[math]}$ （舍去），x₂= $\text{[math]}$
∴此时x= $\text{[math]}$ 10分
当 $\text{[math]}$ 时
S_△PCQ= $\text{[math]}$ CQ•PE=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
解得x₃=x₄= $\text{[math]}$ ．
综上所述，当P在线段AC上滑动时，△PCQ的面积不可能为 $\text{[math]}$ ，可能为 $\text{[math]}$ ．
此时x的值为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）测量略．PB=PQ
可通过构建全等三角形来证PB=PQ，过点P作PF⊥BC于点F，PE⊥CD于点E，由于△PEC是等腰直角三角形，因此PE=EC，可得出四边形PECF是正方形，由此可得出PE=PF，根据同角的余角相等可得出∠FPB=∠QPE，这两个三角形中又有一组直角，因此构成了全等三角形判定条件中ASA的条件．根据全等三角形即可得出PB=PQ．
（2）可先用x表示出PC，然后在直角三角形PFC中求出FC的长，即可求出BF的长，也就求出了CE，QE的长，然后根据CQ=CE-QE即可得出y，x的函数关系式．
（3）当Q在CD延长线上时，CQ=EQ-EC，解法同（2）．
（4）由于△PCQ面积最大时，P与A重合，Q与D重合，此时面积为 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，因此无论什么时候面积都不可能是 $\text{[math]}$ ．
当面积为 $\text{[math]}$ 时，可根据（2）（3）两种情况进行分类讨论，通过得出不同的函数关系式，进而根据函数的性质得出符合条件的x的值．
点评：本题结合运动类问题考查了一次函数和二次函数的综合应用，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．