题目内容
已知:关于x的一元二次方程x2+mx+
=0.
(1)求证:不论m为何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为x1和x2,满足x12+4x1x2 =16mx2+25,且x1<-x2,求m的值.
m-4 | 2 |
(1)求证:不论m为何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根为x1和x2,满足x12+4x1x2 =16mx2+25,且x1<-x2,求m的值.
分析:(1)首先利用含m的代数式表示出判别式△,然后把△进行配方,即可判断;
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系以及方程的根的定理,把x12+4x1x2 =16mx2+25变化成关于m的方程,解方程即可求得m的值.
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系以及方程的根的定理,把x12+4x1x2 =16mx2+25变化成关于m的方程,解方程即可求得m的值.
解答:解:(1)证明:△=m2-4×1×
=m2-2m+8=(m-1)2+7.
∵(m-1)2≥0
∴(m-1)2+7>0,
∴△>0
∴不论m为何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1和x2是方程x2+mx+
=0的两个实数根,
∴
+mx1+
=0,
x1+x2=-m,x1+x2=
∴
=-mx1-
.
∵16
+4x1x2=16mx2+25
∴16(-mx1-
)+4x1x2-16mx2-25=0,
整理,得-16m(x1+x2)+4x1x2-8m+7=0
-16m(-m)+4×
-8m+7=0
16m2-6m-1=0
(2m-1)(8m+1)=0,m=
或m=-
∵x1<-x2
∴x1+x2=-m<0.
∴m>0,
∴m=
.
m-4 |
2 |
∵(m-1)2≥0
∴(m-1)2+7>0,
∴△>0
∴不论m为何值时,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1和x2是方程x2+mx+
m-4 |
2 |
∴
x | 2 1 |
m-x |
2 |
x1+x2=-m,x1+x2=
m-4 |
2 |
∴
x | 2 1 |
m-4 |
2 |
∵16
x | 2 1 |
∴16(-mx1-
m-4 |
2 |
整理,得-16m(x1+x2)+4x1x2-8m+7=0
-16m(-m)+4×
m-4 |
2 |
16m2-6m-1=0
(2m-1)(8m+1)=0,m=
1 |
2 |
1 |
8 |
∵x1<-x2
∴x1+x2=-m<0.
∴m>0,
∴m=
1 |
2 |
点评:本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,利用含m的代数式正确对x12+4x1x2 =16mx2+25进行变形是关键.
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