题目内容

【题目】如图,AB是半圆O的直径,CD是半圆O上的两点,且ODBCODAC交于点E.

(1)若∠B=70°,求∠CAD的度数;
(2)若AB=4,AC=3,求DE的长.

【答案】
(1)解:∵AB是半圆的直径,

∴∠C=90°,

∵OD∥BC,

∴∠OEA=∠C=90°,∠AOD=∠B=70°,

∵OA=0D,

∴∠D=∠OAD=

∴在Rt△ADE中,∠DAC=90°-55°=35°.


(2)解:∵∠OEA=90°,

∴OE⊥AC,

∴AE= AC=1.5,

∵AB=4,

∴AO=OD=2,

∴在Rt△AEO中,OE=

∴DE=OD-OE= .


【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°,再根据OD∥BC,证出∠AOD=∠B=70°及∠OEA=90°,再求出∠D的度数,根据三角形的内角和定理即可求出∠DAC的度数。
(2)由(1)的证明过程可知OE⊥AC,先根据垂径定理得出AE的长,再在Rt△AEO中,利用勾股定理求出OE的长,然后根据DE=OD-OE,求出结果。
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和勾股定理的概念,需要了解三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.

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