题目内容

【题目】如图,△ABC中,BD、BE分别是高和角平分线,点F在CA的延长线上,FH⊥BE,交BD于点G,交BC于点H;下列结论:①∠DBE=∠F;②2∠BEF=∠BAF+∠C;③∠F=∠BAC-∠C;④∠BGH=∠ABE+∠C,其中正确的结论有___________

【答案】①②③④

【解析】①∵BD⊥FD,

∴∠FGD+∠F=90°,

∵FH⊥BE,

∴∠BGH+∠DBE=90°,

∵∠FGD=∠BGH,

∴∠DBE=∠F,

①正确;

②∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE,

∠BEF=∠CBE+∠C,

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C,

∠BAF=∠ABC+∠C,

∴2∠BEF=∠BAF+∠C,

②正确;

③∠ABD=90°-∠BAC,

∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC,

∵∠CBE=90°-∠C,

∴∠DBE=∠BAC-∠C,

由①得,∠DBE=∠F,

∴∠F=∠BAC-∠C,

③正确;

④∵∠AEB=∠EBC+∠C,

∵∠ABE=∠CBE,

∴∠AEB=∠ABE+∠C,

∵BD⊥FC,FH⊥BE,

∴∠BGH=∠ABE,

∴∠BGH=∠ABE+∠C,

④正确,

故答案为:①②③④.

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