题目内容

【题目】如图,直线l:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于A,B两点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在第四象限,∠POQ=135°.

(1)求△AOB的周长;
(2)设AQ=t>0,试用含t的代数式表示点P的坐标;
(3)当动点P,Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时,记tan∠AOQ=m,若过点A的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件:
①6a+3b+2c=0;
②当m≤x≤m+2时,函数y的最大值等于 ,求二次项系数a的值.

【答案】
(1)

解:在函数y=﹣x+1中,令x=0,得y=1,

∴B(0,1),

令y=0,得x=1,

∴A(1,0),

则OA=OB=1,AB=

∴△AOB周长为1+1+ =2+


(2)

解:∵OA=OB,

∴∠ABO=∠BAO=45°,

∴∠PBO=∠QAO=135°,

设∠POB=x,则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x,

∴△PBO∽△OAQ,

∴PB= =

过点P作PH⊥OB于H点,

则△PHB为等腰直角三角形,

∵PB=

∴PH=HB=

∴P(﹣ ,1+ ).


(3)

解:由(2)可知△PBO∽△OAQ,若它们的周长相等,则相似比为1,即全等,

∴PB=AQ,

=t,

∵t>0,

∴t=1,

同理可得Q(1+ ,﹣ ),

∴m= = ﹣1,

∵抛物线经过点A,

∴a+b+c=0,

又∵6a+3b+2c=0,

∴b=﹣4a,c=3a,

对称轴x=2,取值范围 ﹣1≤x +1,

①若a>0,则开口向上,

由题意x= ﹣1时取得最大值 =2 +2,

即( ﹣1)2a+( ﹣1)b+c=2 +2,

解得a=

②若a<0,则开口向下,

由题意x=2时取得最大值2 +2,

即4a+2b+c=2 +2,

解得a=﹣2 ﹣2.

综上所述所求a的值为 或﹣2 ﹣2


【解析】(1)先求出A、B坐标,再求出OB、OA、AB即可解决问题.(2)由△PBO∽△OAQ,得 = ,求出PB,再根据等腰直角三角形性质可以求得点P坐标.(3)先求出m的值,分①a>0,②a<0,两种情形,利用二次函数性质分别求解即可.本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、函数最值问题等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会分类讨论,考虑问题要全面,属于中考压轴题.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和相似三角形的判定与性质,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题.

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