Question

如图所示，边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，使点A落在抛物线y=ax²（a＜0）的图象上．
（1）求抛物线y=ax²的函数关系式；
（2）正方形OABC继续按顺时针旋转多少度时，点A再次落在抛物线y=ax²的图象上并求这个点的坐标．
（参考数据：sin30°=

1

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）由于OA顺时针旋转30°后A点落在抛物线上，设此时的A点为A₁，过A₁作A₁⊥x轴于M，那么可根据正方形的边长和∠A₁OA的度数求出A₁M和OM的长，即可得出A₁的坐标，然后根据A₁的坐标即可求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的对称性即可得出要经过120°点A才会再落到抛物线的图象上．且此点与A1关于y轴对称，即坐标为（-

3

2

，-

1

2

）．

解答：解：（1）设旋转后点A落在抛物线上点A₁处，OA₁=OA=1，
过A₁作A₁M⊥x轴于M，根据旋转可知：∠A₁OM=30°，
则OM=OA₁cos30°=

3

2

，A₁M=OA₁sin30°=

1

2

，
所以A₁（

3

2

，-

1

2

）．
由A₁在y=ax²上，代入抛物线解析式得：-

1

2

=a（

3

2

）²
解得a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

x²

（2）由抛物线关于y轴对称，再次旋转后点A落在抛物线点A₂处，点A₂与点A₁关于y轴对称，
因此再次旋转120°，点A₂的坐标为（-

3

2

，-

1

2

）．

点评：本题考查了图形的旋转变换、二次函数的确定、二次函数的性质等知识点．