题目内容

【题目】如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
(1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.①证明DM=DN;②在这一过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的;若不发生变化,求出其面积;
(2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出写出结论,不用证明.

【答案】
(1)解:①如图1,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,

∴DB=DC=AD,∠BDC=90°,

∴∠ABD=∠C=45°,

∵∠MDB+∠BDN=∠CDN+∠BDN=90°,

∴∠MDB=∠NDC,

∴△BMD≌△CND(ASA),

∴DM=DN;

②四边形DMBN的面积不发生变化;

由①知△BMD≌△CND,

∴SBMD=SCND

∴S四边形DMBN=SDBN+SDMB=SDBN+SDNC=SDBC= SABC= × =


(2)解:DM=DN仍然成立;

证明:如图2,连接DB,在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,

∴DB=DC,∠BDC=90°,

∴∠DCB=∠DBC=45°,

∴∠DBM=∠DCN=135°,

∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,

∴∠CDN=∠BDM,

则在△BMD和△CND中,

∴△BMD≌△CND(ASA),

∴DM=DN.


(3)解:DM=DN.


【解析】(1)连接BD,证明△DMB≌△DNC.根据已知,全等条件已具备两个,再证出∠MDB=∠NDC,用ASA证明全等,四边形DMBN的面积不发生变化,因为它的面积始终等于△ABC面积的一半;(2)成立.同样利用(1)中的证明方法可以证出△DMB≌△DNC;(3)结论仍然成立,方法同(1).
【考点精析】掌握等腰直角三角形和旋转的性质是解答本题的根本,需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形;等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°;①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网