题目内容
【题目】若整数a能被整数b整除,则一定存在整数n,使得=n,即a=bn,例如:若整数a能被整数7整除,则一定存在整数n,使得=n,即a=7n.
(1)将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数减去个位数的两倍,若所得之差能被7整除,则原多位自然数一定能被7整除.例如:将数字1078分解为8和107,107﹣8×2=91,因为91能被7整除,所以1078能被7整除,请你证明任意一个三位数都满足上述规律.
(2)若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数,让个位之前的数加上个位数的k(k为正整数,1≤k≤15)倍,所得之和能被13整除,求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意设﹣2c=10a+b能被7整除,再假设﹣2c=7n( n为自然数 ),则10n+b=7n,进而表示出,即可得出答案;
(2)首先设m+kn=13a,10m+n=13b,则原多位数为10m+n,进而得出b与a,k的关系,进而得出答案.
解:(1)设任意一个三位数为(均为自然数且),
依题意假设 ﹣2c=10a+b能被7整除,
不妨设﹣2c=7n( n为自然数 ),则10n+b=7n,
=100a+10b+c=10(10a+b)+c=10(7n+2c)+c=7(10n+3c),
所以 能被7整除;
(2)以下出现的字母均为自然数,设个位之前及个位数分别为m、n,
依题意不妨设m+kn=13a,
则原多位数为10m+n,
依题意不妨设10m+n=13b,
联立可得:b=10a﹣(10k﹣1),
则10k﹣1为13倍数,分别将 k=1、2、3、4、5…15代入可知,只有k=4 时符合条件.
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