题目内容
【题目】综合与实践：
动手操作：如图1，四边形
是一张矩形纸片，
，
，点
，
分别在
，
边上，且
，连接
，
.将
，
分别沿，折叠，点
，
分别落在点
，
处.
探究展示：
（1）“刻苦小组”发现：
，且
，并展示了如下的证明过程.
证明：在矩形中，
，
，
.
又∵，
∴
.
∴，
.
∵，
∴
.（依据1）
∴
.
∴.（依据2）
反思交流：①上述证明过程中的“依据1”与“依据2”分别指什么？
②“勤奋小组”认为：还可以通过证明四边形
是平行四边形获证，请你根据“勤奋小组”的证明思路写出证明过程.
猜想证明：
（2）如图2，折叠过程中，当点，在直线
的同侧时，延长
交
于点
，延长
交
于点
，则四边形
是什么特殊四边形？请说明理由.
联想拓广：
（3）如图3，连接
，
，
.
①当
时，
的长为________；
②的长有最大值吗？若有，请你直接写出长的最大值和此时四边形
的形状；若没有，请说明理由.
【答案】（1）①见解析②见解析；（2）矩形，理由见解析；（3）①
②有；
；菱形
【解析】
（1）①根据平行线的判定与性质即可得解；
②由矩形的性质进行等量转换得出
，即可判定四边形
是平行四边形，即可得证；
（2）首先由对折的性质得出
，
，然后利用
，进行等量转换，得出
，即可判定四边形
是矩形；
（3）①延长C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，利用△A′GE≌△C′HF，得出AG=BH=4，再利用勾股定理构建方程，即可得出AE；
②当
⊥BD时，的长有最大值，利用菱形的性质以及勾股定理即可得解.
（1）①“依据1”指两直线平行，内错角相等；
“依据2”指同位角相等，两直线平行.
②证明：在矩形
中，
，
.
又∵
，
∴
，即.
∴四边形是平行四边形.
∴
，且
.
（2）四边形是矩形，
延长
，交
于点
，如下图.
由对折可知，
.
∵
，
∴.
同理，.
由（1）得，，
∴
.
由对折可知，
，
.
∴
在
中，
.
在矩形中，
，即
.
∴
.
∴
.
∴
.
∴.
∴四边形是矩形.
（3）①延长C′A′交AD于G，A′C′交BC于H，如图所示：
∵
∴GH∥AB
∴∠A′GE=∠C′HF=90°，AG=BH
∵∠EA′G=∠FC′H，A′E=C′F
∴△A′GE≌△C′HF
∴EG=FH
∵AE=CF
∴AG=CH
∴AG=BH=4
∴
∴
设AE=x，则EG=4-x，
在Rt△A′EG中，
即
解得
，即AE=；
②当⊥BD时，的长有最大值，最大值为
，此时四边形
是菱形.
