Question

（本题12分）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题:
如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△ABC的铅垂高CD及S_△ABC
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使，
若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为： 
把A（3，0）代入解析式得 a(3-1)²+4="0. " 解得
所以 ………………………………………2分
设直线AB的解析式为：
由求得B点的坐标为
把，代入得
解得：
所以  ……………………………………………………………  4分
（2）因为C点坐标为（1，4）所以当x＝１时， y₂＝2
所以CD＝4-2＝2  ……… 5分
 …………………………………………………………  6分
（3）假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则
由S_△PAB=S_△CAB   得：
化简得：   
解得   …………………………………………………………………  10分
将代入中，得.
所以存在符合条件的P点,其坐标为 ………………………………  12分

解析