Question

如图，已知抛物线y=-x²+ax+b与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tanα-tanβ=2，∠ACB=90°．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式知C（0，b），可设出A、B的坐标，在Rt△ACB中，CO⊥AB，根据射影定理可得到OA•OB=OC²，可由韦达定理用b表示出OA•OB和OC²的值，根据上述等量关系即可得到b的值，由此求得C点坐标．
（2）分别表示出tanα、tanβ的值，根据两者的等量关系及韦达定理即可求得a的值，从而确定二次函数的解析式．
（3）由抛物线的解析式，可求得P点坐标，进而可求得直线PC的解析式，延长PC交x轴于D，根据直线PC的解析式即可得到D点的坐标，那么四边形ABPC的面积即可由△PDB和△ADC的面积差求得．

解答：解：（1）根据题意设点A（x₁，O）、点B（x₂，O），且C（O，b）；
x₁＜0，x₂＞0，b＞0，
∵x₁，x₂是方程-x²+ax+b=0的两根，
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-b；（1分）
在Rt△ABC中，OC⊥AB，
∴OC²=OA•OB，
∵OA=-x₁，OB=x₂，
∴b²=-x₁•x₂=b，（2分）
∵b＞0，
∴b=1，
∴C（0，1）；（3分）

（2）在Rt△AOC和Rt△BOC中，
tanα-tanβ=

OC

OA

-

OC

OB

=-

1

x1

-

1

x2

=-

x1+x2

x1x2

=

a

b

=2，（4分）
∴a=2，
∴抛物线解析式为：y=-x²+2x+1．（5分）

（3）∵y=-x²+2x+1，
∴顶点P的坐标为（1，2），
当-x²+2x+1=0时，x=1±

2

，
∴A（1-

2

，0），B（1+

2

，0），（6分）
延长PC交x轴于点D，过C、P的直线为y=x+1，
∴点D的坐标为（-1，0），（7分）
S_{四边形ABPC}=S_△DPB-S_△DCA
=

1

2

•|DB|•y_p-

1

2

•|AD|•y_c
=

1

2

×(2+

2

)×2-

1

2

×(2-

2

)×1
=

2+3 2

2

．（8分）

点评：此题考查了直角三角形的性质、根与系数的关系、锐角三角形函数、二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，当所求图形不规则或无法直接求出其面积时，一般将其转化成其他规则图形的面积的和差来解．