Question

如图，以边长为的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x²+bx+c经过点B且与直线AB只有一个公共点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求抛物线y=x²+bx+c的解析式；
（3）若点P为（2）中抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，问是否存在这样的点P，使△PMC∽△ADC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）则
∴
∴直线AB的解析式为：y=-x-1

（2）把B（0，-1）代入抛物线y=x²+bx+c中得c=-1，联立
得x²+（b+1）x=0，
当△=0时，解得b=-1，
∴抛物线解析式为：y=x²-x-1

（3）存在这样的点P，使△PMC∽△ADC，
∵△ADC为等腰直角三角形，则△PMC为等腰直角三角形，
即CM=PM=m，
又OC=1，根据图象P点坐标可设为（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），
代入抛物线解析式y=x²-x-1中，
解方程：（1+m）²-（1+m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=-m；
解得m=-1，1，1±，
∴P点的坐标为（0，-1），（2，1），（，1-），（-，1+）．
分析：（1）根据正方形对角线的性质，当AB=时，OA=OB=1，可求直线AB的解析式；
（2）把B（0，-1）代入抛物线y=x²+bx+c中得c=-1，联立直线与抛物线解析式，得方程组，消去y，得关于x的一元二次方程，当直线与抛物线有唯一公共点时，△=0，可求b；
（3）∵△ADC为等腰直角三角形，则△PMC为等腰直角三角形，即CM=PM=m，又OC=1，根据图象P点坐标可设为（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），代入抛物线解析式分别求解．
点评：本题考查了正方形的性质，一次函数，二次函数解析式的求法，并运用抛物线解析式解决三角形的相似问题；本题需要形数结合，分类讨论．