Question

（2013•丰台区一模）我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点．如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为（-

1

2

，0），所以该函数的零点是-

1

2

．
（1）函数y=x²+4x-5的零点是

-5或1

；
（2）如图，将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中，且顶点A在x轴上．若正方形ABCD沿x轴正方向滚动，即先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．顶点D的轨迹是一函数的图象，则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为

π+1

．

Answer 1

分析：（1）将y=0代入y=x²+4x-5，得x²+4x-5=0，解方程求出x的值即为所求；
（2）正方形ABCD沿x轴正方向滚动时，从顶点D落在x轴上的时候开始计算，到下一次D点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，其顶点D从首次落在x轴上和第二次落在x轴上时所画出的轨迹就是函数在其两个相邻零点间的图象，画出图形，不难算出它与x轴所围区域的面积．

解答：解：（1）∵y=x²+4x-5，
∴当y=0时，x²+4x-5=0，
解得x=-5或1．
故答案为-5或1；

（2）考察D点的运动轨迹，D点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动

1

4

个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BD为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CD为半径，因此最终构成图象如右所示：
故其与x轴所围成的图形面积为S=

1

2

π×1²+

1

4

×π×（

2

）²+2×

1

2

×1×1=π+1．
故答案为：-5或1；π+1．

点评：本题实际上是正方形沿直线无滑动运动时有关顶点的摆线问题，本题考查了函数零点的概念及图形面积的计算，充分考查学生分析问题和解决问题的能力，是一道能力立意的创新题．对于初中生来说，有一定难度．