Question

已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，.已知当时，；当时，.
⑴求一次函数的解析式；
⑵已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积.

Answer 1

解：（1）∵当x＞1时，y₁＞y₂；当0＜x＜1时，y₁＜y₂，∴点A的横坐标为1。
将x=1代入反比例函数解析式，，∴点A的坐标为（1，6）。
又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5。
∴一次函数的解析式为y₁=x+5。
（2）∵第一象限内点C到y轴的距离为3，∴点C的横坐标为3。
∴。 ∴点C的坐标为（3，2）。
过点C作CD∥x轴交直线AB于D，则点D的纵坐标为2

∴x+5=2，解得x=﹣3。∴点D的坐标为（﹣3，2）。
∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6。
点A到CD的距离为6﹣2=4。
联立，解得（舍去），。∴点B的坐标为（﹣6，﹣1）。
∴点B到CD的距离为2﹣（﹣1）=2+1=3。
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=×6×4+×6×3=12+9=21。

（1）首先根据x＞1时，y₁＞y₂，0＜x＜1时，y₁＜y₂确定点A的横坐标，然后代入反比例函数解析式求出点A的纵坐标，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求直线解析式解答。
（2）根据点C到y轴的距离判断出点C的横坐标，代入反比例函数解析式求出纵坐标，从而得到点C的坐标，过点C作CD∥x轴交直线AB于D，求出点D的坐标，然后得到CD的长度，再联立一次函数与双曲线解析式求出点B的坐标，根据△ABC的面积=△ACD的面积+△BCD的面积，列式进行计算即可得解。