Question

在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y 轴上，线段OA、OB的长（OA＜OB）是关于x的方程x²-（2m+6）x+2m²=0的两个实数根，C是线段AB的中点，OC=3，D在线段OC上，OD=2CD．
（1）求OA、OB的长；
（2）求直线AD的解析式；
（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=2OC=6，
∴OA²+OB²=AB²==180，
∵OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，
∴（OA+OB）²-2OA×OB=180，
即（2m+6）²-4m²=180，
∴m=6，
即方程为x²-18x+72=0，
∴x₁=12，x₂=6，
∵OA＜OB，
∴OA=6，OB=12．

（2）过C作CM⊥OA于M，过D作DN⊥OA于N，
∵CM∥OB，
∴===，
∵OA=6，OB=12，
∴CM=6，AM=3，OM=3，
∴C（3，6），
∵OD=2CD，
∴===，
∴DN=4，ON=2，
∴D（2，4），
设直线AD的解析式是y=kx+b，
∵A（6，0），
代入得：，
解得：k=-1，b=6，
∴直线AD的解析式是y=-x+6．

（3）设直线y=-x+6交y轴于F，
把x=0代入y=-x+6得：y=6，
∴F（0，6），OF=6=OA，
由勾股定理得：AF=6，
分为两种情况：
①以OA为一边时，如图，共有3个点，如图，AP=OA=AP′=6，RT∥OA∥KG，
点Q在点T、K点时，以O、A、P（P′）、Q为顶点的四边形是菱形，
∵A（6，0），OP=OA，
∴OP=6=PR=PT，
∴此时Q的坐标是（6，6），

过P′作P′H⊥OA于H，
AP′=6，
由勾股定理得：P′H=AH=3，
K（3，-3），
K点在直线AD上关于O点对称的点（-3，3）也可以．

②以OA为对角线，作OA的垂直平分线交AD于P，交OA于M，在OA的下方，MP=MQ，以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，
把x=3代入y=-x+6得：y=3，
此时Q的坐标是（3，-3），
综合上述：P是直线AD上的点，在平面内存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或
（3，-3）或（-3，3）或（3，-3）．
分析：（1）求出AB=2OC=6，根据OA+OB=2m+6，OA×OB=2m²，得出方程（2m+6）²-4m²=180，求出m的值，代入方程，求出方程的解即可；
（2）过C作CM⊥OA于M，过D作DN⊥OA于N，求出C、D的坐标，设直线AD的解析式是y=kx+b，把A、D的坐标代入求出即可；
（3）求出AD与y轴的交点F的坐标，求出AF，①以OA为一边时，共有4个点，根据A坐标和OP=OA即可求出R、T的坐标，K（3，-3），同理求出G、K的坐标；②以OA为对角线，作OA的垂直平分线交AD于P，交OA于M，在OA的下方作MP=MQ，把x=3代入y=-x+6求出y，即可得出此时Q的坐标．
点评：本题考查了菱形的判定，用待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的运用，本题综合性比较强，难度偏大，主要培养了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．分类讨论思想的运用．