题目内容
【题目】探索与计算:
在△ABC中,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,连接DE.
(1)如图1,若∠A=45°,AB=AC,BC=4,求DE的长.
(2)如图2,若∠A=60°,AB与AC不相等,BC=4,求DE的长.
猜想与证明:
(3)根据(1)(2)所求出的结果,猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系,并证明.
拓展与应用:
(4)如图3,在△ABC中,AB=BC=5,AC=2,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,AF⊥BC于点F,求△DEF的周长.
【答案】(1) DE=2;(2) DE =2;(3) DE=BCcosA,证明见解析;(4) △DEF的周长=
.
【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=AB,根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质计算;
(2)根据直角三角形的性质得到AE=AB,AD=
AC,根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB,根据相似三角形的性质计算;
(3)根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质解答;
(4)根据(3)的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可.
试题解析:
(1)∵BE⊥AC,∠A=45°,
∴AE=BE=AB,
同理,AD=CD=AC,
∵AB=AC,
∴AE=AD,
∴=
,又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴=
=
,
∴DE=2;
(2)∵BE⊥AC,∠A=60°,
∴AE=AB,
同理,AD=AC,
∴=
,又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴=
,
∴DE=BC=2;
(3)猜想:DE=BCcosA.
证明:∵BE⊥AC,
∴cosA=,
∴AE=ABcosA,
同理,AD=ACcosA,
∴∴△ADE∽△ACB,
∴=cosA,
∴DE=BCcosA;
(4)∵AB=BC=5,AC=2,BE⊥AC,
∴AE=EC=,
由勾股定理得,BE==2
,
∵BC×AF=AC×BE,
∴AF=4,
由勾股定理得,BF=3,
∴cos∠ABC==
,cos∠ACB=cos∠BAC=
,
∴EF=DE=ABcos∠ACB=,DF=ACcos∠ABC=
,
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=.
