题目内容

【题目】探索与计算:

在△ABC中,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,连接DE.

(1)如图1,若∠A=45°,AB=AC,BC=4,求DE的长.

(2)如图2,若∠A=60°,AB与AC不相等,BC=4,求DE的长.

猜想与证明:

(3)根据(1)(2)所求出的结果,猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系,并证明.

拓展与应用:

(4)如图3,在△ABC中,AB=BC=5,AC=2,BE⊥AC于点E,CD⊥AB于点D,AF⊥BC于点F,求△DEF的周长.

【答案】(1) DE=2;(2) DE =2;(3) DE=BCcosA,证明见解析;(4) △DEF的周长=.

【解析】试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=AB,根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质计算;

(2)根据直角三角形的性质得到AE=AB,AD=AC,根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB,根据相似三角形的性质计算;

(3)根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质解答;

(4)根据(3)的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可.

试题解析:

(1)∵BE⊥AC,∠A=45°,

∴AE=BE=AB,

同理,AD=CD=AC,

∵AB=AC,

∴AE=AD,

=,又∠A=∠A,

∴△ADE∽△ABC,

==

∴DE=2

(2)∵BE⊥AC,∠A=60°,

∴AE=AB,

同理,AD=AC,

=,又∠A=∠A,

∴△ADE∽△ACB,

=

∴DE=BC=2;

(3)猜想:DE=BCcosA.

证明:∵BE⊥AC,

∴cosA=

∴AE=ABcosA,

同理,AD=ACcosA,

∴∴△ADE∽△ACB,

=cosA,

∴DE=BCcosA;

(4)∵AB=BC=5,AC=2,BE⊥AC,

∴AE=EC=

由勾股定理得,BE==2

∵BC×AF=AC×BE,

∴AF=4,

由勾股定理得,BF=3,

∴cos∠ABC==,cos∠ACB=cos∠BAC=

∴EF=DE=ABcos∠ACB=,DF=ACcos∠ABC=

∴△DEF的周长=DE+EF+DF=

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