题目内容

如图,在△ABC中,点D是边BC上任意一点,点E、F分别是△ABD和△ACD的重心.如果BC=6
那么线段EF的长为(  )
分析:连接AE并延长交BD于M,连接AF并延长交CD于N,根据三角形的重心是中线的交点可得DM=
1
2
BD,DN=
1
2
CD,然后求出MN的长,再根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AE=2ME,AF=2NF,再根据相似三角形对应边成比例列出求解即可.
解答:解:如图,连接AE并延长交BD于M,连接AF并延长交CD于N,
∵点E、F分别是△ABD和△ACD的重心,
∴DM=
1
2
BD,DN=
1
2
CD,AE=2ME,AF=2NF,
∵BC=6,
∴MN=DM+DN=
1
2
(BD+CD)=
1
2
BC=
1
2
×6=3,
AE
AM
=
AF
AN
=
2
2+1
=
2
3
,∠EAF=∠MAN,
∴△AEF∽△AMN,
EF
MN
=
2
3

EF
3
=
2
3

解得EF=2.
故选A.
点评:本题考查了三角形重心,是偏僻题目,主要利用了三角形的重心是三角形中线的交点,三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍.
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