题目内容
【题目】定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【解析】
（1）根据勾股定理求出AB＝
，BC＝2， AC＝5，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）通过证明△ABD∽△DBC，可得BD是四边形ABCD的“相似对角线”．
解：（1）如图1，
⊕
（1）由图1知，AB＝，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴
＝
或
＝2，
∴CD＝10或CD＝2.5
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
（2）证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠A+∠ADB＝140°
∵∠ADC＝140°，
∴∠BDC+∠ADB＝140°，
∴∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
练习册系列答案
南大教辅抢先起跑暑假衔接教程南京大学出版社系列答案
相关题目
