题目内容
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=| 1 | 4 |
接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
分析：（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得
=
，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
| AE |
| AB |
| DF |
| DE |
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴
=
，
∵DF=
DC，
∴
=
，
∴
=
，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
=
，
又∵DF=
DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴
| AE |
| AB |
| 1 |
| 2 |
∵DF=
| 1 |
| 4 |
∴
| DF |
| DE |
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| AB |
| DF |
| DE |
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
| ED |
| CG |
| DF |
| CF |
又∵DF=
| 1 |
| 4 |
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
点评：此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
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，交BC于点E．
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