Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，-3）、B（3，-3）、C（-1，5），顶点为M点．在抛物线上是找一点P使∠POM=90°，则P点的坐标

 

．

Answer 1

分析：根据题意，把抛物线经过的三点代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数，再确抛物线的顶点M的坐标．可求出直线OM的解析式，由于直线OP与直线PM垂直，因此两直线的斜率的积为-1，由此可求出直线OP的解析式；联立抛物线的解析式即可求出P点坐标．

解答：解：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（1，-3）、B（3，-3）、C（-1，5），
所以

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得：

a=1 b=-4 c=0

，
所以抛物线的解析式为：y=x²-4x=（x-2）²-4，顶点M坐标是（2，-4），
因此直线OM的解析式为y=-2x，
由于直线PO与直线OM垂直，因此直线PO的解析式为y=

1

2

x，
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x y=x2-4x

，解得

x=0 y=0

，

x= 9 2 y= 9 4

，
因此P点坐标为（

9

2

，

9

4

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数解析式以及函数图象交点等知识．本题中，利用互相垂直的两直线其斜率的积为-1进行求解，是解题的关键．