题目内容
如图,已知AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,连接OC,交⊙O于点E,弦AD∥OC.(1)求证:点E是弧BD的中点;(2)求证:CD是⊙O的切线.
分析:(1)连接OD.根据相等的圆心角所对的弧相等,证明∠COD=∠COB后得证;
(2)证明OD⊥CD即可.通过证明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得证.
(2)证明OD⊥CD即可.通过证明△COD≌△COB得∠ODC=∠OBC=90°得证.
解答:证明:(1)连接OD.
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠COD,∠A=∠COB. (1分)
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO. (2分)
∴∠COD=∠COB. (3分)
∴弧BE=弧DE,即点E是弧BD的中点. (4分)
(2)由(1)可知∠COD=∠COB,
在△COD和△COB中,
,(5分)
∴△COD≌△COB,
∴∠CDO=∠CBO. (6分)
∵BC与⊙O相切于点B,
∴BC⊥OB,即∠CBO=90°. (7分)
∴∠CDO=90°,即DC⊥OD.
∴CD是⊙O的切线. (8分)
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠COD,∠A=∠COB. (1分)
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO. (2分)
∴∠COD=∠COB. (3分)
∴弧BE=弧DE,即点E是弧BD的中点. (4分)
(2)由(1)可知∠COD=∠COB,
在△COD和△COB中,
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∴△COD≌△COB,
∴∠CDO=∠CBO. (6分)
∵BC与⊙O相切于点B,
∴BC⊥OB,即∠CBO=90°. (7分)
∴∠CDO=90°,即DC⊥OD.
∴CD是⊙O的切线. (8分)
点评:此题考查了圆的有关性质及切线的判定方法等知识点.
①相等的圆心角所对的弧相等,必须在同圆或等圆中成立;
②要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
①相等的圆心角所对的弧相等,必须在同圆或等圆中成立;
②要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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