Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F．
（1）求证：PD+PE=CF；
（2）若P点在BC的延长线上，那么PD、PE、CF存在什么关系？写出你的猜想并证明．

Answer 1

分析：（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

1

2

×AB×（PD+PE），同时可表示出S_△ABC=

1

2

AB×CF，从而可得到PD+PE=CF．
（2）CF+PE=PD，根据S_△APB=S_△ABC+S_△ACP进行推理，证法同（1）．

解答：（1）证明：连接AP．
∵AB=AC，
∴S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=

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2

AB×PD+

1

2

AC×PE=

1

2

×AB×（PD+PE），
∵S_△ABC=

1

2

AB×CF，
∴PD+PE=CF．

（2）解：CF+PE=PD．
P点在BC的延长线上，过P做AB⊥PD，过C作AB⊥CF，过P作PE⊥AC，交AC的延长线于E点，连接AP
∵AB=AC，
∴S_△APB=S_△ABC+S_△ACP=

1

2

AB×CF+

1

2

AC×PE=

1

2

×AB×（CF+PE），
∵S_△APB=

1

2

AB×PD，
∴CF+PE=PD．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．