Question

观察与探究：（1）观察下列各组数据并填空：
A.1，2，3，4，5.

.

xA

=

 

，s_A²=

 

；
B.11，12，13，14，15.

.

xB

=

 

，s_B²=

 

；
C.10，20，30，40，50.

.

xC

=

 

，s_C²=

 

；
D.3，5，7，9，11.

.

xD

=

 

，s_D²=

 

．
（2）分别比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？
（3）若已知一组数据x₁，x₂，…，x_n的平均数是

.

x

，方差为S²，则另一组数据3x₁-2，3x₂-2，…，3x_n-2的平均数是

 

，方差是

 

．

Answer 1

分析：（1）根据平均数的公式和方差的计算公式进行计算即可；
（2）一组数据中的每一个数加或减一个数，它的平均数也加或减这个数；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n²倍；
（3）根据（2）中的规律去解题．

解答：解：（1）

.

x

_A=3，s_A²=2；

.

x

_B=13，s_B²=2；

.

x

_C=30，s_C²=200；

.

x

_D=7，s_D²=8．

（2）规律：有两组数据，设其平均数分别为

.

x

₁，

.

x

₂，方差分别为s₁²，s₂²：
①当第二组数每个数据比第一组每个数据都增加m个单位时，则有

.

x

₂=

.

x

₁+m，s₂²=s₁²；
②当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍时，则有

.

x

₂=n

.

x

₁，s₂²=n²s₁²；
③当第二组数每个数据是第一组每个数据的n倍加m时，则有

.

x

₂=n

.

x

₁+m，s₂²=n²s₁²

（3）另一组数据的平均数

.

x

′=

1

n

（3x₁-2+3x₂-2+…+3x_n-2）=

1

n

[3（x₁+x₂+…+x_n）-2n]=3

.

x

-2，
原来的方差s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，
现在的方差s²=

1

n

[（3x₁-2-3

.

x

+2）²+（3x₂-2-3

.

x

+2）²+…+（3x_n-2-3

.

x

+2）²]
=

1

n

[9（x₁-

.

x

）²+9（x₂-

.

x

）²+…+9（x_n-

.

x

）²]
=9s²．

点评：本题特别说明：当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即数据的波动情况不变；一组数据中的每一个数都变为原数的n倍，它的方差变为原数据的n²倍．此题作为结论记住．