题目内容
【题目】定义：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b）和直线y=ax+b，我们称点P（（a，b）是直线y=ax+b的关联点，直线y=ax+b是点P（a，b）的关联直线．特别地，当a=0时，直线y=b（b为常数）的关联点为P（0，b）．
如图，已知点A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．
（1）点A的关联直线的解析式为______；
直线AB的关联点的坐标为______；
（2）设直线AC的关联点为点D，直线BC的关联点为点E，点P在y轴上，且S△DEP=2，求点P的坐标．
（3）点M（m，n）是折线段AC→CB（包含端点A，B）上的一个动点．直线l是点M的关联直线，当直线l与△ABC恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y=-2x-2，（0，-2）；（2）P（0，5）或P（0，3）；（3）-2≤m＜
，或2＜m≤4
【解析】
（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式，根据关联点和关联直线的定义可得结论；
（2）先根据关联点求D和E的坐标，根据面积和列式可得P的坐标；
（3）点M分别在线段AC→CB上讨论，根据直线l与△ABC恰有两个公共点时，可得m的取值范围．
解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（-2，-2），B（4，-2）代入得：
，
解得：
，
∴直线AB的解析式为：y=-2，
∴点A的关联直线的解析式为y=-2x-2；
直线AB的关联点的坐标为：（0，-2）；
故答案为：y=-2x-2，（0，-2）；
（2）∵点A（-2，-2），B（4，-2），C（1，4）．
∴直线AC的解析式为y=2x+2，
直线BC的解析式为y=-2x+6，
∴D（2，2），E（-2，6）．
∴直线DE的解析式为y=-x+4，
∴直线DE与y轴交于点F（0，4），如图1，
设点P（0，y），
∵S△DEP=2，
∴S△DEP=S△EFP+S△DFP
=
×|-2|+
=2，
解得：y=5或y=3，
∴P（0，5）或P（0，3）．
（3）①当M在线段AC上时，如图3，
∵AC：y=2x+2，
∴设M（m，2m+2）（-2≤m≤1），则关联直线l：y=mx+2m+2，
把C（1，4）代入y=mx+2m+2得：m+2m+2=4，m=
，
∴-2≤m＜；
②当M在线段BC上时，如图3，
∵BC：y=-2x+6，
∴设M（m，-2m+6）（1≤m≤4），则关联直线l：y=mx-2m+6，
把A（-2，-2）代入y=mx-2m+6得：-2m-2m+6=-2，m=2，
∴2＜m≤4；
综合上述，-2≤m＜或2＜m≤4．
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
