题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
x2-3x+
交y轴于点E，C为抛物线的顶点，直线AD：y=kx+b（k＞0）与抛物线相交于A，D两点（点D在点A的下方）．
（1）当k=2，b=-3时，求A，D两点坐标；
（2）当b=2-3k时，直线AD交抛物线的对称轴于点P，交线段CE于点F，求
的最小值；
（3）当b=0时，若B是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC=CM．
【答案】（1）A（8，
），D（2，
）．（2）
的最小值为
．（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将两函数解析式联立即可组成方程组，解方程组即可；
（2）设D（t，t2-3t+
），N（t，-
t+），得出ND=-t2+t=-（t-）2+
，即可求出最大值；
（3）设点A、D的坐标分别为A（x1，y1）、D（x2，y2），设P、M的坐标分别为P（3，n），M（3，m），连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，则DG∥AB∥x轴，得到方程②③④，将②、③、④代入①中，得m=-3k即可．
试题解析：（1）当k=2，b=-3时，直线方程化为y=2x-3，
联立两方程可得
，
解得
，
；
可知，A（8，），D（2，）．
（2）∵y=（x-3）2，
∴点P的横坐标为3，
当x=3，b=2-3k时，y=2，
∴点P的坐标为（3，2），
∵CE的解析式为y=-x+，
过点D作DN∥PC交CE于点N，如图1，
∴
，
设D（t， t2-3t+），N（t，-t+），
∴ND=-t2+t=-（t-）2+，
当t=时，ND的最大值为．
∴的最小值为．
（3）设点A、D的坐标分别为A（x1，y1）、D（x2，y2），设P、M的坐标分别为P（3，n），
M（3，m），
∵点A、D在直线y=kx与抛物线的交点，
∴kx1=x12-3x1+，kx2=x22-3x2+，
∴x1、x2是方程x2-3x+=0的两根．
∴x1+x2=6+2k，x1x2=9，
连接AB交PC于点H，过点D作DG∥x轴交PC于点G，如图2，
则DG∥AB∥x轴，
∴
，
，
∵BH=AH，
∴
，
即
，
∴（y2-m）（y1-n）=（y1-m）（n-y2），
整理得2y1y2+2mn=（y1+y2）（m+n）①，
∵x1+x2=6+2k，x1x2=9，
∴y1y2=k2x1x2=9k2②，y1+y2=6k+2k2③，
∵点P（3，n）在直线y=kx上，
∴n=3k④，
将②、③、④代入①中，得m=-3k，
∵定点C的坐标为（3，0），
∴PC=MC．
