Question

（2012•衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

Answer 1

分析：（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；
（2）利用平行线截线段成比例推知

OD

BC

=

AO

AB

；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代换），
∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

（平行线截线段成比例），
∴

r

6

=

10-r

10

，
解得r=

15

4

，即⊙O的半径r为

15

4

．

点评：本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．