题目内容

【题目】如图,已知ABCD,E在直线AB,CD之间.

1)求证:∠AEC=BAE+ECD;

2)若AH平分∠BAE,将线段CE沿射线CD平移至FG.

①如图2,若∠AEC=90°FH平分∠DFG,求∠AHF的度数;

②如图3,若FH平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.

【答案】1)见解析;(2)①45°;②∠AHF=90°+AEC(或2AHF-AEC=180°),理由见解析.

【解析】

1)过EEFAB,可得∠A=AEN,利用平行于同一条直线的两直线平行得到ENCD平行,再得到一对内错角相等,进而得出答案;
2)①HF平分∠DFG,设∠GFH=DFH=x,根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数,再由∠AEC=90°,根据角的关系易得∠AHF的度数;②设∠GFD=2x,∠BAH=EAH=y,根据角平分线的性质以及(1)中结论即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系.

1)如图1,过点E作直线ENAB

ABCD
ENCD
∴∠BAE=AEN,∠DCE=CEN
∴∠AEC=AEN+CEN=BAE+ECD
2)∵AH平分∠BAE
∴∠BAH=EAH
①∵HF平分∠DFG,设∠GFH=DFH=x
CEFG
∴∠ECD=GFD=2x
又∠AEC=BAE+ECD,∠AEC=90°
∴∠BAH=EAH=45°-x
如图2,过点HlAB

易证∠AHF=BAH+DFH=45°-x+x=45°
②设∠GFD=2x,∠BAH=EAH=y
HF平分∠CFG
∴∠GFH=CFH=90°-x
由(1)知∠AEC=BAE+ECD=2x+2y
如图3,过点HlAB

易证∠AHF-y+CFH=180°
即∠AHF-y+90°-x=180°,∠AHF=90°+x+y),
∴∠AHF=90°+AEC.(或2AHF-AEC=180°.)

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