题目内容
已知抛物线y=-
x2+bx+4与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B,已知A点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,连接AB,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)若抛物线y=-
x2+bx+4上有一点F(-k-1,-k2+1),当m,n为何值时,∠PMQ的边过点F?
1 |
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(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,连接AB,M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D.设AD的长为m(m>0),BC的长为n,求n和m之间的函数关系式.
(3)若抛物线y=-
1 |
2 |
(1)将点A(4,0)代入抛物线解析式可得:0=-
×42+4b+4,
解得:b=1,
故抛物线解析式为y=-
x2+x+4;
(2)抛物线y=-=-
x2+x+4与x轴的交点为A(4,0),与y轴的交点为B(0,4),
则AB=4
,AM=BM=2
,
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°,
则∠BCM=∠AMD,
故△BCM∽△AMD,
则
=
,即
=
,n=
,
故n与m之间的函数关系式为n=
(m>0).
(3)∵F(-k-1,-k2+1)在y=-
x2+x+4上,
∴-
(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1,
化简得,k2-4k+3=0,
解得:k1=1,k2=3,
即F1(-2,0)或F2(-4,-8),
①MF过点M(2,2)和F1(-2,0),设MF为y=kx+b,
则
,
解得:
,
故直线MF的解析式为y=
x+1,
直线MF与x轴的交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1),
若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=
,
若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=
,
②MF过点M(2,2)或点F1(-4,-8),设MF为y=kx+b,
则
,
解得:
,
故直线MF的解析式为y=
x-
,
直线MF与x轴的交点为(
,0),与y轴交点为(0,-
),
若MP过点F(-4,-8),则n=4-(-
)=
,m=
,
若MQ过点F(-4,-8),则m=4-
=
,n=
,
故当
,
,
或
时∠PMQ的边过点F.
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解得:b=1,
故抛物线解析式为y=-
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(2)抛物线y=-=-
1 |
2 |
则AB=4
2 |
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在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中,∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°,
在△BCM中,∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°,即∠BMC+∠BCM=135°,
在直线AB上,∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°,即∠BMC+∠AMD=135°,
则∠BCM=∠AMD,
故△BCM∽△AMD,
则
BC |
AM |
BM |
AD |
n | ||
2
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2
| ||
m |
8 |
m |
故n与m之间的函数关系式为n=
8 |
m |
(3)∵F(-k-1,-k2+1)在y=-
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∴-
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化简得,k2-4k+3=0,
解得:k1=1,k2=3,
即F1(-2,0)或F2(-4,-8),
①MF过点M(2,2)和F1(-2,0),设MF为y=kx+b,
则
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解得:
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故直线MF的解析式为y=
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2 |
直线MF与x轴的交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1),
若MP过点F(-2,0),则n=4-1=3,m=
8 |
3 |
若MQ过点F(-2,0),则m=4-(-2)=6,n=
4 |
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②MF过点M(2,2)或点F1(-4,-8),设MF为y=kx+b,
则
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解得:
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故直线MF的解析式为y=
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3 |
4 |
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直线MF与x轴的交点为(
4 |
5 |
4 |
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若MP过点F(-4,-8),则n=4-(-
4 |
3 |
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3 |
3 |
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若MQ过点F(-4,-8),则m=4-
4 |
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5 |
5 |
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故当
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