题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ABC>60°,BAC<60°,AB为边作等边△ABD(点C、D在边AB的同侧),连接CD

1若∠ABC90°BAC30°,求∠BDC的度数;

2当∠BAC2BDC请判断△ABC的形状并说明理由

3)当∠BCD等于多少度时,∠BAC2BDC恒成立

【答案】(1)30°;(2)(3)见解析

【解析】试题分析:(1)证明AC垂直平分BD,从而可得CD=BC,继而得∠BDC=30°;

(2)设∠BDC=x,则∠BAC=2x,证明∠ACD=∠ADC,从而得AC=AD,再根据AB=AD可得AB=AC,从而得△ABC是等腰三角形

(3)如图, 作等边△BCE,连接DE,证明△BCD≌△ECD后可得到∠BDE=2∠BDC,再通过证明△BDE≌△BAC得到∠BAC=∠BDE,从而得∠BAC=2∠BDC.

试题解析:(1)∵△ABD为等边三角形,

∴∠BAD=∠ABD=60°,AB=AD,

又∵∠BAC=30°,

∴AC平分∠BAD,

∴AC垂直平分BD,

∴CD=BC,

∴∠BDC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=90°-60°=30°;

(2)△ABC是等腰三角形

理由:设∠BDC=x,则∠BAC=2x,

有∠CAD=60°-2x,∠ADC=60°+x,

∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=60°+x,

∴∠ACD=∠ADC,

∴AC=AD,

又∵AB=AD,

∴AB=AC,

即△ABC是等腰三角形

(3)当∠BCD=150°时,∠BAC=2∠BDC恒成立

如图作等边△BCE,连接DE,

∴BC=EC,∠BCE=60°.

∵∠BCD=150°,

∴∠ECD=360°-∠BCD-∠BCE=150°,

∴∠DCE=∠DCB.

又∵CD=CD,

∴△BCD≌△ECD.

∴∠BDC=∠EDC,

即∠BDE=2∠BDC.

又∵△ABD为等边三角形,

∴AB=BD,∠ABD=∠CBE=60°,

∴∠ABC=∠DBE=60°+∠DBC.

又∵BC=BE,

∴△BDE≌△BAC.

∴∠BAC=∠BDE,

∴∠BAC=2∠BDC.

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