Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

Answer 1

（1）证明：连接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，

∠1=∠3 AB=AC ∠ABC=∠4

，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．

（2）由（1）得△ABE≌△ACF，
则S_△ABE=S_△ACF．
故S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，
S_{四边形AECF}=S_△ABC
=

1

2

BC•AH
=

1

2

BC•

AB2-BH2

=4

3

；

（3）由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S_△CEF=S_{四边形AECF}-S_△AEF
=4

3

-

1

2

×2

3

×

(2 3 )2-( 3 )2

=

3

．