题目内容
菱形PQRS的四个顶点分别在矩形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上,已知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40,若最简分数
是矩形ABCD的周长,则m+n= .
m |
n |
考点:三角形边角关系
专题:
分析:由菱形性质知PR⊥SQ,且互相平分,这样得到8个直角三角形,易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心.由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25.设AS=x、AP=y,由对称性知CQ、CR的长分别为x、y,则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25,根据矩形ABCD的面积等于8个直角三角形的面积之和,列出关于x、y的方程,解得x、y,即可计算m+n的值.
解答:解:如图,设AS=x、AP=y.
∵四边形PQRS是菱形,
∴PR⊥SQ,且PR与SQ互相平分,
∴图中有8个直角三角形,易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心.
由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25.由对称性知CQ、CR的长分别为x、y,
则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25,
∵矩形面积等于8个直角三角形的面积之和,
∴(20+x)(15+y)=6×
×20×15+2×
xy,
化简整理,得3x+4y=120 ①,
又x2+y2=625 ②,
①与②联立,解得x1=20,x2=
,
y1=15,y2=
.
当x=20时,BC=x+BQ=40,这与PR=30不合,
故x=
,y=
,
∴矩形周长为2(15+20+x+y)=
,
即:m+n=672+5=677.
故答案为677.
∵四边形PQRS是菱形,
∴PR⊥SQ,且PR与SQ互相平分,
∴图中有8个直角三角形,易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心.
由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25.由对称性知CQ、CR的长分别为x、y,
则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25,
∵矩形面积等于8个直角三角形的面积之和,
∴(20+x)(15+y)=6×
1 |
2 |
1 |
2 |
化简整理,得3x+4y=120 ①,
又x2+y2=625 ②,
①与②联立,解得x1=20,x2=
44 |
5 |
y1=15,y2=
117 |
5 |
当x=20时,BC=x+BQ=40,这与PR=30不合,
故x=
44 |
5 |
117 |
5 |
∴矩形周长为2(15+20+x+y)=
672 |
5 |
即:m+n=672+5=677.
故答案为677.
点评:本题考查了菱形、矩形的性质,勾股定理,三角形的面积,有一定难度.根据菱形与矩形的性质分别表示出图中8个直角三角形的两条直角边是解题的关键.
练习册系列答案
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