Question

请阅读下列材料：

已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；                     

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

                                                             

 图（2）

Answer 1

（1） DE²=BD²+EC²        

   证明：根据△AEC绕点A顺时

       针旋转90°得到△ABE^’            

     ∴  △AEC≌△ABE^’

     ∴  BE^’=EC, A E^’=AE

       ∠C=∠AB E^’ , ∠EAC=∠E’AB

         在Rt△ABC中

     ∵  AB=AC

     ∴  ∠ABC=∠ACB=45°

     ∴  ∠ABC＋∠AB E^’=90°

即  ∠E’BD=90°

∴   E’B²＋BD²= E’D²

   又∵  ∠DAE=45°

     ∴  ∠BAD＋∠EAC=45°

     ∴  ∠E’AB＋∠BAD=45°

      即  ∠E’AD=45°

     ∴  △A E’D≌△AED

     ∴  DE=D E^’

     ∴  DE²=BD²+EC²  

 

（2）关系式DE²=BD²+EC²仍然成立

证明：将△ADB沿直线AD对折，

得△AFD，连FE

∴  △AFD≌△ABD                        

∴AF=AB，FD=DB

∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD

又∵AB=AC，∴AF=AC

∵∠FAE=∠FAD＋∠DAE=∠FAD＋45°

   ∠EAC=∠BAC－∠BAE=90°－(∠DAE－∠DAB)= 45°＋∠DAB

∴ ∠FAE=∠EAC

又∵  AE=AE

∴△AFE≌△ACE

∴ FE=EC  , ∠AFE=∠ACE=45°

   ∠AFD=∠ABD=180°－∠ABC=135°

∴  ∠DFE=∠AFD－∠AFE=135°－45°=90°  

∴在Rt△DFE中

DF²＋FE²=DE²

即DE²=BD²+EC²