题目内容

请阅读下列材料：已知方程x²+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
所以x= $数学公式$ ．
把x= $数学公式$ 代入已知方程，得（ $数学公式$ ）²+ $数学公式$ -3=0，化简，得y²+2y-12=0．
故所求方程为y²+2y-12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍．

解：设所求方程的根为y，则y=3x，
所以x= $\text{[math]}$ ．
把x= $\text{[math]}$ 代入已知方程，得
（ $\text{[math]}$ ）2+ $\text{[math]}$ -1=0，
化简，得y²+3y-9=0，
故所求方程为y²+3y-9=0．
分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
点评：本题主要考查了一元二次方程的解．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．

练习册系列答案

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25、请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

11、请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

请阅读下列材料：已知方程x²+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
所以x=

．
把x=

代入已知方程，得（

）²+

-3=0，化简，得y²+2y-12=0．
故所求方程为y²+2y-12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
问题：已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍．

请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

请阅读下列材料：

已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

图（2）

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