Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，与直线y=﹣x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．

（Ⅰ）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式；

（Ⅱ）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．

①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②若点P的横坐标为t（﹣1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？最大值是多少？并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1；（Ⅱ）①P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；②当t=0时，四边形PBQC的面积最大，最大值为2，理由见解析．

【解析】

（Ⅰ）首先求出A、B、C三点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，可知PQ⊥BC，则可求得直线PQ的解析式，联立抛物线解析式可求得P点坐标；

②过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，由∠PED=∠AOC，可知当PE最大时，PD也最大，用t可表示出PE的长，可求得取最大值时的t的值．

（Ⅰ）联立两直线解析式可得，

解得，

∴B点坐标为（﹣1，1），

又C点为B点关于原点的对称点，

∴C点坐标为（1，﹣1），

∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A，

∴A点坐标为（0，﹣1），

设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

把A、B、C三点坐标代入可得，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1；

（Ⅱ）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，

∵直线BC解析式为y=﹣x，

∴直线PQ解析式为y=x，

联立抛物线解析式可得，

解得或，

∴P点坐标为（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；

②当t=0时，四边形PBQC的面积最大．

理由如下：

如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E，

则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BCPD=BCPD，

∵线段BC长固定不变，

∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大，

又∠PED=∠AOC（固定不变），

∴当PE最大时，PD也最大，

∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，

∴P点坐标为（t，t2﹣t﹣1），E点坐标为（t，﹣t），

∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，

∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，PD的最大值=，

∴四边形PBQC的面积最大值=．