Question

【题目】如图，正方形ABCD，点P为对角线AC上一个动点，Q为CD边上一点，且

（1）求证：PB=PQ；

（2）若BC+CQ=8，求四边形VCQP的面积；

（3）设AP=x，ABCD的面积为y，且CQ=2，求y与x的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）16；（3）y=

【解析】试题分析：（1）如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F．只要证明△PEB≌△PFQ即可解决问题；

（2）只要证明S四边形BCQP=S四边形CEPF即可解决问题；

（3）如图2，过P做EF∥AD分别交AB和CD于E、F．易知AE=PE=x，由△BPE≌△PQF，推出EP=AE=QF=x，由BE=CF=2+x，推出AB=2+x+x=2+x，由此即可解决问题；

试题解析：(1)证明：如图1中，作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠ACB，

∵PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，

∴PE=PF，

∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，

∴四边形PECF是矩形，

∵PE=PF，

∴四边形PECF是正方形，

∴∠EPF=∠BPQ=90°,

∴∠BPE=∠QPF,

∵∠PEB=∠PFQ=90°，

∴△PEB≌△PFQ，

∴PB=PQ.

(2)如图1中,由(1)可知△BPE≌△PQF，四边形PECF是正方形，

∴BE=FQ,CE=CF,S△BPE=S△PQF，

∵BC+CQ=8，

∴EC+FC=BC+CQ=8，

∴CE=CF=4,

又∵S△BPE=S△PQF，

∴S四边形BCQP=S四边形CEPF=16.

(3)如图2,过P做EF∥AD分别交AB和CD于E. F.

∵AP=x，

∴AE=PE=x，

∵△BPE≌△PQF，

∴EP=AE=QF=x，

∵BE=CF=2+x，

∴AB=2+x+x=2+x，

∴y=(2+x)2=2x2+4x+4.