题目内容

已知二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于点A（ $数学公式$ ，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求点B坐标；
（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．
①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数 $数学公式$ 图象的对称轴上；
②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．

解：（1）将A（ $\text{[math]}$ ，0）代入y=- $\text{[math]}$ mx²+3mx-2，
解得m= $\text{[math]}$ ，
∴函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x-2，
令y=0，解得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=2 $\text{[math]}$ ，
∴B（ $\text{[math]}$ ，0）；

（2）①由解析式可得点C（0，-2）
二次函数图象的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，
在Rt△AOC中，∵OC=2，OA=2 $\text{[math]}$ ，
∴tan∠OAC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠PQA=150°，∠A′QH=60°，AQ=A′Q
过点A′作A′H⊥x轴于点H，则QH=AH
∴ $\text{[math]}$ ，
解得QH= $\text{[math]}$ ，
则AQ= $\text{[math]}$ ，CP=1
∴t=1，
②分两种情况：
（I）当0＜t≤1时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA′N．
NQ=A′Q= $\text{[math]}$ =A′Qsin60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当t=1时，有最大值 $\text{[math]}$ ．
（II）当1＜t＜2时，设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′，

S_{四边形MOQA}′=S_梯形PQA'C′-S_△OPQ-S_△PC'M，
= $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，有最大值 $\text{[math]}$ ，
综上：当 $\text{[math]}$ 时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积有最大值是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将A（ $\text{[math]}$ ，0）代入抛物线解析式可求m的值，得到抛物线解析式，令y=0求x的值，得到B对坐标；
（2）①可根据解析式可得出点C点的在坐标，和函数的对称轴；在Rt△AOC讨论，可得AQ=A′Q，同时，过点A′作A′H⊥x轴，此时可根据两个等量式即可得出QH的长，从而可得出t的值，
②此时要分情况讨论，分当0＜t≤1时和当1＜t＜2时的情况，利用三角函数的知识和四边形求面积的知识即可得出．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．