题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线ykxb与 x轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图像相交于点 A(1,8)、B(m,2).
(1)求该反比例函数和直线y kxb的表达式;
(2)求证:ΔOBC为直角三角形;
(3)设∠ACO=α,点Q为反比例函数在第一象限内的图像上一动点,且满足90°-α<∠QOC<α,求点Q的横坐标q的取值范围.
【答案】(1);
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式,然后求得B的坐标,则利用待定系数法即可求得直线的解析式;
(2)过点B作BD⊥OC于点D,在直角△OBD和直角△OBC中,利用勾股定理求得和
,然后利用勾股定理的逆定理即可证明;
(3)分成Q在B的左侧和右侧两种情况讨论,当在右侧时一定不成立,当在左侧时,判断是否存在点Q时∠QCO=90°-α即可.
(1)设反比例函数的解析式是y=kx,
把(1,8)代入得k=8,
则反比例函数表达式为,
把(m,2)代入得,
则B的坐标是(4,2).
根据题意得:,
解得:,
,则直线表达式y=2x+10;
(2)过点B作BD⊥OC于点D,(图1)则D的坐标是(4,0).
在y=2x+10中,令y=0,解得x=5,则OC=5.
∵在直角△OBD中,BD=2,DC=OCOD=54=1,
则,
同理,直角△BCD中, ,
∴,
∴△OBC是直角三角形;
(3)当Q在B的右侧时一定不成立,
在y=2x+10中,令x=0,则y=10,
则当Q在的左边时,(图2)tan∠ACO=tanα=2,
则tan(90°α)= .
当∠QCO=90°α时,Q的横坐标是p,则纵坐标是,
tan∠QCO=tan(90°α)= :(5p)=
即,>
△=254×16=39<0,则Q不存在,
故当Q在AB之间时,满足条件,
因而2<q<4.
