题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线ykxb x轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图像相交于点 A(18)B(m2)

(1)求该反比例函数和直线y kxb的表达式;

(2)求证:ΔOBC为直角三角形;

(3)设∠ACOα,点Q为反比例函数在第一象限内的图像上一动点,且满足90°α<∠QOCα,求点Q的横坐标q的取值范围.

【答案】1;(2)证明见解析;(3)

【解析】

1)首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式,然后求得B的坐标,则利用待定系数法即可求得直线的解析式;

2)过点BBDOC于点D,在直角△OBD和直角△OBC中,利用勾股定理求得,然后利用勾股定理的逆定理即可证明;

3)分成QB的左侧和右侧两种情况讨论,当在右侧时一定不成立,当在左侧时,判断是否存在点Q时∠QCO=90°-α即可.

(1)设反比例函数的解析式是y=kx

(1,8)代入得k=8

则反比例函数表达式为

(m,2)代入得

B的坐标是(4,2).

根据题意得:

解得:

,则直线表达式y=2x+10

(2)过点BBDOC于点D,(1)D的坐标是(4,0).

y=2x+10中,令y=0,解得x=5,则OC=5.

∵在直角△OBD中,BD=2DC=OCOD=54=1

同理,直角△BCD,

∴△OBC是直角三角形;

(3)QB的右侧时一定不成立,

y=2x+10,x=0,y=10,

则当Q在的左边时,(2)tanACO=tanα=2

tan(90°α)= .

当∠QCO=90°α,Q的横坐标是p,则纵坐标是

tanQCO=tan(90°α)= :(5p)=

=254×16=39<0,则Q不存在,

故当QAB之间时,满足条件,

因而2<q<4.

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