Question

【题目】如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线ykxb与 x轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点 A(1，8)、B(m，2)．

(1)求该反比例函数和直线y kxb的表达式；

(2)求证：ΔOBC为直角三角形；

(3)设∠ACO＝α，点Q为反比例函数在第一象限内的图像上一动点，且满足90°－α＜∠QOC＜α，求点Q的横坐标q的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）证明见解析；(3)．

【解析】

（1）首先利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后求得B的坐标，则利用待定系数法即可求得直线的解析式；

（2）过点B作BD⊥OC于点D，在直角△OBD和直角△OBC中，利用勾股定理求得和，然后利用勾股定理的逆定理即可证明；

（3）分成Q在B的左侧和右侧两种情况讨论，当在右侧时一定不成立，当在左侧时，判断是否存在点Q时∠QCO=90°-α即可．

(1)设反比例函数的解析式是y=kx，

把(1,8)代入得k=8，

则反比例函数表达式为，

把(m,2)代入得，

则B的坐标是(4,2).

根据题意得：，

解得：，

，则直线表达式y=2x+10；

(2)过点B作BD⊥OC于点D,(图1)则D的坐标是(4,0).

在y=2x+10中，令y=0，解得x=5，则OC=5.

∵在直角△OBD中，BD=2，DC=OCOD=54=1，

则，

同理,直角△BCD中, ，

∴，

∴△OBC是直角三角形；

(3)当Q在B的右侧时一定不成立，

在y=2x+10中,令x=0,则y=10,

则当Q在的左边时,(图2)tan∠ACO=tanα=2，

则tan(90°α)= .

当∠QCO=90°α时,Q的横坐标是p,则纵坐标是，

tan∠QCO=tan(90°α)= :(5p)=

即，

△=254×16=39<0，则Q不存在，

故当Q在AB之间时，满足条件，

因而2<q<4.