题目内容
【题目】如图，抛物线
与
轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1）．且对称轴为
．
（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；
（2）点D在x轴下方的抛物线上，则四边形ABDC的面积是否存在最大值，若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）、
；A（-1，0），B（3，0）；（2）、D的坐标为（
，
）；P1（-4，7），P2（4，
）；P3（2，-1）．
【解析】试题分析：（1）、根据点C的坐标和对称轴求出函数解析式，然后得出点A和点B的坐标；（2）、首先设点D的坐标，将四边形的面积转化成△AOC+四边形OCDM+△BMD的面积和得出关于a的二次函数，然后根据二次函数的性质求出最值；（3）、本题分①、AB为边时，则需要满足PQ∥AB，PQ=AB=4，得出点P的坐标，②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB中点为G，则PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，从而得出点P的坐标.
试题解析：（1）、∵抛物线与y轴交于点C（0，-1）．且对称轴为
．∴
，解得：
，
∴抛物线解析式为，令
，解得：
，
， ∴A（-1，0），B（3，0），
（2）、设D（
，
）（0＜a＜3），作DM⊥x轴于M，则S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OCDM+S△BMD，∴
∵
，∴当
时，S四边形ABDC取得最大值， 此时
，∴D的坐标为（，）
（3）、①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为-4或4，
当x=-4时，y=7；当x=4时，y=
； 此时点P的坐标为P1（-4，7），P2的坐标为（4，
）；
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB中点为G，则PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P作x轴的垂线交于点H，可证得△PHG≌△QOG，
∴GO=GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=-1，此时点P的坐标为P3（2，-1），
∴所以符合条件的点为：P1（-4，7），P2（4，）；P3（2，-1）．
