Question

在一次数学活动课上，老师出了一道题：
（1）解方程x²-2x-3=0
巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
（2）解关于x的方程mx²+（m-3）x-3=0（m为常数，且m≠0）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
（3）已知关于x的函数y=mx²+（m-3）x-3（m为常数）
①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；
②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B．当△ABC为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据因式分解法解得x²-2x-3=0的根；
（2）观察方程mx²+（m-3）x-3=0可把原方程分解成（x+1）•（mx-3）=0，解出方程的两根即可；也可以运用公式法进行解答；
（3）①首先进行分类讨论，当m=0时，函数是一次函数，可以求出函数恒过x轴、y轴上的两个定点，当m≠0时，该函数是二次函数，函数的图象是抛物线，结合（2）问知识，可以得到恒过x轴、y轴上的两个定点；②当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（，0），观察图象并结合题干条件，当△ABC为Rt△时，可知△AOC∽△COB，进而求出OB的长度，若△ABC为锐角三角形时，则0＜＜9，解出m的取值范围即可．
解答：解：（1）由x²-2x-3=0，得（x+1）（x-3）=0，
∴x₁=-1，x₂=3；               …（3分）

（2）方法一：由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）•（mx-3）=0，
∵m≠0，∴x₁=-1，x₂=…（3分）
方法2：由公式法：x₁，x₂==，
∴x₁=-1，x₂=；

（3）①1°当m=0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=-3x-3，
令y=0，得x=-1；令x=0，则y=-3．
∴直线y=-3x-3过定点A（-1，0），C（0，-3）…（2分）
2°当m≠0时，函数y=mx²+（m-3）x-3为y=（x+1）•（mx-3），
∴抛物线y=（x+1）•（mx-3）恒过两定点A（-1，0），C（0，-3）；
故不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点；

②（I）当m＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（-1，0），C（0，-3）和B（，0），
观察图象，可知，当△ABC为直角三角形时，
则△AOC∽△COB，
∴，
∴|OC|²=|OA|•|OB|，
∴3²=1×|OB|，
∴OB=9，即B（9，0），
∴当．即：m＞，
当m＞时，△ABC为锐角三角形； 
（II）观察图象可知
当m＜0且m≠-3时，点B在x轴的负半轴上，B与A不重合．
∴△ABC中的∠BAC＞90°，
∴△ABC是钝角三角形．
∴当m＜0且m≠-3时，△ABC为钝角三角形，
综上当m＞时，△ABC为锐角三角形．
点评：本题主要考查二次函数综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象得性质，特别是解答第（3）问时，首先解出三角形ABC是直角三角形时m的值，进而求出△ABC是锐角三角形时m的取值范围，此题难度较大．