题目内容
在一次数学活动课上,老师出了一道题:
(1)解方程x
2-2x-3=0
巡视后,老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法).接着,老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题:
(2)解关于x的方程mx
2+(m-3)x-3=0(m为常数,且m≠0).
老师继续巡视,及时观察、点拨大家,再接着,老师将第二道题变式为第三道题:
(3)已知关于x的函数y=mx
2+(m-3)x-3(m为常数)
①求证:不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点(设x轴上的定点为A,y轴上的定点为C);
②若m≠0时,设此函数的图象与x轴的另一个交点为B.当△ABC为锐角三角形时,观察图象,直接写出m的取值范围.
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.
【答案】
分析:(1)直接根据因式分解法解得x
2-2x-3=0的根;
(2)观察方程mx
2+(m-3)x-3=0可把原方程分解成(x+1)•(mx-3)=0,解出方程的两根即可;也可以运用公式法进行解答;
(3)①首先进行分类讨论,当m=0时,函数是一次函数,可以求出函数恒过x轴、y轴上的两个定点,当m≠0时,该函数是二次函数,函数的图象是抛物线,结合(2)问知识,可以得到恒过x轴、y轴上的两个定点;②当m>0时,由①可知抛物线开口向上,且过点A(-1,0),C(0,-3)和B(

,0),观察图象并结合题干条件,当△ABC为Rt△时,可知△AOC∽△COB,进而求出OB的长度,若△ABC为锐角三角形时,则0<

<9,解出m的取值范围即可.
解答:解:(1)由x
2-2x-3=0,得(x+1)(x-3)=0,
∴x
1=-1,x
2=3; …(3分)
(2)方法一:由mx
2+(m-3)x-3=0,得(x+1)•(mx-3)=0,
∵m≠0,∴x
1=-1,x
2=

…(3分)
方法2:由公式法:x
1,x
2=

=

,
∴x
1=-1,x
2=

;
(3)①1°当m=0时,函数y=mx
2+(m-3)x-3为y=-3x-3,
令y=0,得x=-1;令x=0,则y=-3.
∴直线y=-3x-3过定点A(-1,0),C(0,-3)…(2分)
2°当m≠0时,函数y=mx
2+(m-3)x-3为y=(x+1)•(mx-3),
∴抛物线y=(x+1)•(mx-3)恒过两定点A(-1,0),C(0,-3);
故不论m为何值,此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点;

②(I)当m>0时,由①可知抛物线开口向上,且过点A(-1,0),C(0,-3)和B(

,0),
观察图象,可知,当△ABC为直角三角形时,
则△AOC∽△COB,
∴

,
∴|OC|
2=|OA|•|OB|,
∴3
2=1×|OB|,
∴OB=9,即B(9,0),
∴当

.即:m>

,
当m>

时,△ABC为锐角三角形;
(II)观察图象可知
当m<0且m≠-3时,点B在x轴的负半轴上,B与A不重合.
∴△ABC中的∠BAC>90°,
∴△ABC是钝角三角形.
∴当m<0且m≠-3时,△ABC为钝角三角形,
综上当m>

时,△ABC为锐角三角形.
点评:本题主要考查二次函数综合题的知识点,解答本题的关键是熟练掌握二次函数图象得性质,特别是解答第(3)问时,首先解出三角形ABC是直角三角形时m的值,进而求出△ABC是锐角三角形时m的取值范围,此题难度较大.
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