Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上，且满足AE∶BF∶CG∶DH=1∶2∶3∶4. 问当AE长为多少时，四边形EFGH的面积最小?并求出这个最小值.

Answer 1

【答案】当AE长为2.5时，四边形EFGH的面积的最小值为37.5

【解析】

设AE=x，则BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，根据S四边形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH列式后根据二次函数的性质进行求解即可得.

设AE=x，则BF=2x，CG=3x，DH=4x，BE=10－x，CF=10－2 x，DG=10－3 x，AH=10－4 x，

∴S四边形EFGH=S正方形ABCD－S△AEH－S△BEF－S△CFG－S△DGH

=102－x(10－4x)－ ·2x(10－x)－ ·3x(10－2x)－ ·4x(10－3x)

=10x2－50x+100，

∵=2.5，=37.5，

∴当AE长为2.5时，四边形EFGH的面积的最小值为37.5.