题目内容
【题目】如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC＝900，且DE＝EC．
（1）求证：△ADE≌△BEC；
（2）若AD＝a，AE＝b，DE＝c，请用图1证明勾股定理：a2＋b2＝c2；
（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD＝2，BC＝4，求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)2.
【解析】试题分析：（1）、根据∠DEC＝90°得出∠AED＋∠CEB＝90°，结合∠ADE＋∠AED＝90°得出∠ADE＝∠CEB，从而说明三角形全等；（2）、根据图形得出△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，然后根据全等得出BE＝a，BC＝b，然后根据面积相等的法则得出答案；（3）、根据题意得出△AFD和△BCF相似，设AF=x，则BF=6-x，从而求出x的值，然后得出EF的长度.
试题解析：（1）如图1，∵∠DEC＝90°，∴∠AED＋∠CEB＝90°，∵∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠CEB，
在△ADE和△BEC中，
，∴△ADE≌△BEC（AAS）；
（2）、如图1，∵AB⊥BC，∠DEC＝90°，∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，
∵AD＝a，AE＝b，DE＝c，且DE＝EC，△ADE≌△BEC，∴BE＝a，BC＝b，
∴
（a＋b）（a＋b）＝ab＋c2＋ab，
整理得：a2＋b2＝c2；
（3）、如图2，由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），则AD＝BE＝2，BC＝AE＝4，
∵DF⊥CF， ∴∠AFD＋∠BFC＝90°，∵∠BFC＋∠BCF＝90°，∴∠AFD＝∠BCF，又∵∠A＝∠B，
∴△AFD∽△BCF，∴
，设AF＝x，则BF＝6﹣x，故
，
解得：x1＝2，x2＝4， ∵点F不与点E重合， ∴x＝2，∴EF＝6﹣2﹣2＝2．
