Question

抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1．且A、C两点的坐标分别为A（-1，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在对称轴上是否存在一个点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴和A点的坐标求得B点的坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）利用点A和点B关于对称轴对称，求得线段BC所在直线的解析式后再求出此直线与对称轴的交点坐标即可．

解答：解：（1）∵A、B两点关于x=1对称，且A（-1，0），
∴B点坐标为（3，0），
根据题意得：

0=9a+3b+c 0=a-b+c -3=c

解得a=1，b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）存在一个点P，使△PAC的周长最小．
A点关于x=1对称点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴

3k+b=0 b=-3

∴k=1，b=-3，
即BC的解析式为y=x-3．
当x=1时，y=-2，
∴P点坐标为（1，-2）．

点评：本题考查了函数综合知识，函数综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以函数综合题的形式出现．解决函数综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想的应用过程．