题目内容
(2012•上海模拟)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,∠A=60°,CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,ED交直线BM于点F,将△EDC沿CD翻折得△E′DC,射线DE′交直线BM于点G.
(1)如图1,当CD⊥EF时,求BF的值;
(2)如图2,当点G在点F的右侧时;
①求证:△BDF∽△BGD;
②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)如果△DFG的面积为6
,求AE的长.
(1)如图1,当CD⊥EF时,求BF的值;
(2)如图2,当点G在点F的右侧时;
①求证:△BDF∽△BGD;
②设AE=x,△DFG的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)如果△DFG的面积为6
3 |
分析:(1)由∠ACB=90°,AD=BD,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD,再由∠BAC=60°,得到三角形ADC为等边三角形,由AC的长求出AD与BD的长,同时求出∠ABC=30°,由BM与AC平行,利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°,再由CD垂直于EF,得到∠CDE和∠CDF都为直角,在直角三角形EDC中,求出∠DEC为30°,利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD也为30°,而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA为30°,利用对顶角相等得到∠BDF为30°,即∠BFD=∠BDF,利用等角对等边可得出BD=BF,由BD的长即可求出BF的长;
(2)当点G在点F的右侧时,如图2所示,①由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行,得到CE′∥AB,再由两直线平行得到一对内错角相等,利用等量代换得到∠BDG=∠BFD,再由一对公共角,利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD;②由△BDF∽△BGD得比例,将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式,求出x的范围即可;
(3)分两种情况考虑:(i)当点G在点F的右侧时,在y与x的关系式中,令y=6
列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AE的长;(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示,列出此时y与x的关系式,令y=6
列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为AE的长,综上,得到所有满足题意的AE的长.
(2)当点G在点F的右侧时,如图2所示,①由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行,得到CE′∥AB,再由两直线平行得到一对内错角相等,利用等量代换得到∠BDG=∠BFD,再由一对公共角,利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD;②由△BDF∽△BGD得比例,将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式,求出x的范围即可;
(3)分两种情况考虑:(i)当点G在点F的右侧时,在y与x的关系式中,令y=6
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解答:解:(1)∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CD=AD=BD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,∠ABC=30°,AD=BD=AC,
∵AC=4,
∴AD=BD=AC=4,
∵BM∥AC,
∴∠MBC=∠ACB=90°,
又∵CD⊥EF,
∴∠CDF=90°,
∴∠BDF=30°,
∴∠BFD=30°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BF=BD=4;
(2)①证明:由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,
∴∠ADC=∠E′CD,
∴CE′∥AB,
∴∠CE′D=∠BDG,
∵BM∥AC,
∴∠CED=∠BFD,
又∵∠CE′D=∠CED,
∴∠BDG=∠BFD,
∵∠DBF=∠GBD,
∴△BDF∽△BGD;
②由△BDF∽△BGD,得
=
,
∵D为AB的中点,
∴BD=AD,
又∵BM∥AC,
∴∠DBF=∠DAE,∠BFD=∠DEA,
在△BFD和△AED中,
∵
,
∴△BFD≌△AED(AAS),
∴BF=AE=x,
∴
=
,
∴BG=
,
在Rt△ABC中,AB=8,AC=4,
根据勾股定理得:BC=
=4
,
∵点D到直线BM的距离d=
BC=2
,
∴S△DFG=
FG•d=
(BG-BF)•d,即y=
×(
-x)×2
=
-
x(0<x<4);
(3)(i)当点G在点F的右侧时,
由题意,得6
=
-
x,
整理,得x2+6x-16=0,
解得x1=2,x2=-8(不合题意,舍去);
(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示:
同理得到S△DFG=
FG•d=
(BF-BG)•d,即y=
x-
(x>4),
由题意,得6
=
x-
,
整理,得x2-6x-16=0,
解得x3=8,x4=-2(不合题意,舍去),
综上所述,AE的值为2或8.
∴CD=AD=BD,
∵∠BAC=60°,
∴∠ADC=∠ACD=60°,∠ABC=30°,AD=BD=AC,
∵AC=4,
∴AD=BD=AC=4,
∵BM∥AC,
∴∠MBC=∠ACB=90°,
又∵CD⊥EF,
∴∠CDF=90°,
∴∠BDF=30°,
∴∠BFD=30°,
∴∠BDF=∠BFD,
∴BF=BD=4;
(2)①证明:由翻折,得∠E′CD=∠ACD=60°,
∴∠ADC=∠E′CD,
∴CE′∥AB,
∴∠CE′D=∠BDG,
∵BM∥AC,
∴∠CED=∠BFD,
又∵∠CE′D=∠CED,
∴∠BDG=∠BFD,
∵∠DBF=∠GBD,
∴△BDF∽△BGD;
②由△BDF∽△BGD,得
BF |
BD |
BD |
BG |
∵D为AB的中点,
∴BD=AD,
又∵BM∥AC,
∴∠DBF=∠DAE,∠BFD=∠DEA,
在△BFD和△AED中,
∵
|
∴△BFD≌△AED(AAS),
∴BF=AE=x,
∴
x |
4 |
4 |
BG |
∴BG=
16 |
x |
在Rt△ABC中,AB=8,AC=4,
根据勾股定理得:BC=
AB2-AC2 |
3 |
∵点D到直线BM的距离d=
1 |
2 |
3 |
∴S△DFG=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
16 |
x |
3 |
16
| ||
x |
3 |
(3)(i)当点G在点F的右侧时,
由题意,得6
3 |
16
| ||
x |
3 |
整理,得x2+6x-16=0,
解得x1=2,x2=-8(不合题意,舍去);
(ii)当点G在点F的左侧时,如图3所示:
同理得到S△DFG=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
16
| ||
x |
由题意,得6
3 |
3 |
16
| ||
x |
整理,得x2-6x-16=0,
解得x3=8,x4=-2(不合题意,舍去),
综上所述,AE的值为2或8.
点评:此题考查了相似形综合题,涉及的知识有:相似三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线性质,折叠的性质,平行线的判定与性质,以及等腰三角形的判定与性质,利用了数形结合及分类讨论的思想,熟练掌握判定与性质是解本题的关键.
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