Question

如图，在△ABC中，∠ABC=30°，BC=4，AB=3，点P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP，且∠APC=∠BPA=120°，按下列要求用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）；
分别以AB、PB为边在BC边的上方作等边△ABD和等边△PBE，连接DE，然后回答下列问题：
（1）AP=

DE

；（填写图中一条线段）
（2）∠CBD=

90

°
（3）PA+PB+PC=

5

．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形性质得出AB=BD，BP=BE，∠ABD=∠PBE=60°，推出∠DBE=∠PBA，求出△ABP≌△DBE即可．
（2）根据∠ABC和∠ABD的度数求出即可．
（3）求出C、P、E、D四点共线，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：
（1）AP=DE，
理由是：∵△ABD和△BPE是等边三角形，
∴AB=BD，BP=BE，∠ABD=∠PBE=60°，
∴∠DBE=∠PBA=50°-∠ABE，
在△ABP和△DBE中

AB=BD ∠ABP=∠DBE BP=BE

∴△ABP≌△DBE，
∵AP=DE，
故答案为：DE．

（2）∠CBD=90°，
理由是：∵△BAD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=30°+60°=90°，
故答案为：90．

（3）PA+PB+PC=5，

理由是：∵△BPE是等边三角形，
∴∠EPB=60°，
∵∠BPC=120°，
∴∠EPC=180°，
即C、P、E三点共线，
∵△ABP≌△DBE，
∴∠APB=∠DEB=120°，
∵∠PEB=60°，
∴D、E、P三点共线，
即C、P、E、D四点共线，
在Rt△CBD中，∠CBD=90°，BC=4，BD=3，由勾股定理得：CD=5，
∵CD=CP+PE+DE=CP+BP+AP，
∴PA+PB+PC=5，
故答案为：5．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．