Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB= ，E是半圆 上一动点，连接AE，AD，DE． 填空：
①当 的长度是时，四边形ABDE是菱形；
②当 的长度是时，△ADE是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，

∴AB= BC，

∵D是BC的中点，

∴BD= BC，

∴AB=BD，

∴∠BAD=∠BDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODB=∠BAO=90°，

即OD⊥BC，

∴BD是⊙O的切线．

（2） π； π或π
【解析】（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形； 如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，

∵∠C=30°，
∴CD=2DM，∴DE=CD=AB= BC，
∵∠BAC=90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB=BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD=BD=AB=CD= BC= ，
∴△ABD是等边三角形，OD=CDtan30°=1，
∴∠ADB=60°，
∵∠CDE=90°﹣∠C=60°，
∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°，
∴∠AOE=2∠ADE=120°，
∴ 的长度为： = π；
故答案为： ；
②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时 的长度为： =π；
若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时 的长度为： = π；
∵AD不是直径，
∴∠AED≠90°；
综上可得：当 的长度是 π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为： π或π．
（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．