题目内容
如图,△ABC内接于⊙O,CD平分△ABC的外角∠BCM,交⊙O于点D,连接AD,BD.
(1)求证:AD=BD;
(2)若AB=6,sin∠ACB=
,C为弧AD的中点,连接DO,并延长交BC于点E,求OE的长.
(1)求证:AD=BD;
(2)若AB=6,sin∠ACB=
3 |
5 |
考点:圆周角定理,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理
专题:证明题
分析:(1)由CD平分△ABC的外角∠BCM得到∠MCD=∠DCB,再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得∠DCB=∠DAB,∠MCD=∠DBA,则∠DAB=∠DBA,于是可得到结论;
(2)延长DO交AB于F,连结OC交AD于P,作EH⊥AD于H,根据等腰三角形外心的性质得到DF垂直平分AB,则AF=
AB=3,根据圆周角定理得∠ACB=∠AOF,
则sin∠AOF=sin∠ACB=
=
,可计算出半径OA=5,用勾股定理数出OF=4,AD=3
,由C为弧AD的中点,根据垂径定理得OP垂直平分AD,PD=
,∠ABC=∠DBC,所以点E为△ABC的内心,则AE平分∠DAB,根据角平分线性质得EH=EP,用勾股定理计算出PO=
,然后利用OP∥EH得到△DOP∽△DEH,
通过相似比计算出OE.
(2)延长DO交AB于F,连结OC交AD于P,作EH⊥AD于H,根据等腰三角形外心的性质得到DF垂直平分AB,则AF=
1 |
2 |
则sin∠AOF=sin∠ACB=
AF |
AO |
3 |
5 |
10 |
3
| ||
2 |
10 |
2 |
通过相似比计算出OE.
解答:(1)证明:∵CD平分△ABC的外角∠BCM,
∴∠MCD=∠DCB,
∵∠DCB=∠DAB,∠MCD=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴AD=BD;
(2)解:延长DO交AB于F,连结OA、OC交AD于P,作EH⊥AD于H,如图,
∵DA=DB,
∴DF垂直平分AB,
∴AF=
AB=3,
∵∠ACB=∠AOF,
∴sin∠AOF=sin∠ACB=
=
,
∴OA=5,
在Rt△OPA中,OF=
=4,
在Rt△AFD中,AD=
=3
∵C为弧AD的中点,
∴OP垂直平分AD,PD=
,∠ABC=∠DBC,
∴点E为△ABC的内心,
∴AE平分∠DAB,
∴EH=EF,
在Rt△DPO中,OP=
=
,
∵OP∥EH,
∴△DOP∽△DEH,
∴
=
,即
=
,
∴OE=5-
.
∴∠MCD=∠DCB,
∵∠DCB=∠DAB,∠MCD=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴AD=BD;
(2)解:延长DO交AB于F,连结OA、OC交AD于P,作EH⊥AD于H,如图,
∵DA=DB,
∴DF垂直平分AB,
∴AF=
1 |
2 |
∵∠ACB=∠AOF,
∴sin∠AOF=sin∠ACB=
AF |
AO |
3 |
5 |
∴OA=5,
在Rt△OPA中,OF=
52-32 |
在Rt△AFD中,AD=
AF2+DF2 |
10 |
∵C为弧AD的中点,
∴OP垂直平分AD,PD=
3
| ||
2 |
∴点E为△ABC的内心,
∴AE平分∠DAB,
∴EH=EF,
在Rt△DPO中,OP=
DO2-DP2 |
| ||
2 |
∵OP∥EH,
∴△DOP∽△DEH,
∴
DO |
DE |
OP |
EH |
5 |
5+OE |
| ||||
4-OE |
∴OE=5-
10 |
点评:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.也考查了勾股定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质.
练习册系列答案
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已知
=
=
≠0,则
的值为( )
a |
3 |
b |
4 |
c |
5 |
a+b+c |
a+b-c |
A、3 | B、4 | C、5 | D、6 |
如图,已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=45°,两腰的和为8cm,点E,F分别是对角线AC,BD的中点,点G是底边BC的中点,则EF的长为( )
A、4
| ||
B、2
| ||
C、
| ||
D、无法确定 |