Question

如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE=CD，连接BE，与AD交于点P，过点B作BQ⊥AD于Q，那么BP：PQ=

 

．

Answer 1

分析：易证△ABE≌△CAD，即可求得∠CAD=∠ABE，进而可以求得∠BPQ=60°，根据特殊角的三角函数值即可求得BP：PQ的值，即可解题．

解答：解：在△ABE和△CAD中，

AE=CD ∠DCA=∠EAB=60° AB=CA

，
∴△ABE≌△CAD，（SAS）
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠CAD+∠PAB=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠CAD+∠PAB=60°，
∴在直角△BPQ中，PQ：BP=sin30°=1：2，
∴BP：PQ=2：1．
故答案为 2：1．

点评：本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，特殊角的三角函数值，三角函数在直角三角形中的运用，本题中求∠BPQ=60°是解题的关键．