Question

【题目】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．

（1）求证：OE＝CD；

（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）4．

【解析】

（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；

（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．

解：

（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．

又∵DE＝AC，

∴DE＝OC．

∵DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵∠COD＝90，

∴平行四边形OCED是矩形．

∴OE＝CD．

（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝8，AO＝4．

∴在矩形OCED中，CE＝OD＝，

又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90，

∴在Rt△ACE中，AE＝＝4．