题目内容
【题目】如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝
（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A，B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM＝OM＝2，点A的纵坐标为4．
（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q．使四边形OPAQ是矩形，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝
，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，
）或（﹣1，2+
）或（﹣1，2﹣）．
【解析】
（1）根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；
（2）设P（-1，a），如图1，当∠PAO=90°，如图2，当∠APO=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：（1）∵BM＝OM＝2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），
设反比例函数的解析式为y＝
，
则﹣2＝
，
得k＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点A的纵坐标是4，
∴4＝，
得x＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），
∴
，
解得：
，
即一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）存在，
∵直线AB于x轴交于D，
∴D（﹣1，0），
∴OD＝1，
设P（﹣1，a），
如图1，当∠PAO＝90°，
∵OP2＝PA2+OA2＝PD2+OD2，
∴（1+1）2+（4﹣a）2+12+42＝12+a2，
解得：a＝ ，
∴P（﹣1， ），
如图2，当∠APO＝90°，
∵OP2＝OA2﹣PA2＝PD2+OD2，
∴12+42﹣[（1+1）2+（4﹣a）2]＝12+a2，
解得：a＝2± ，
∴P（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣），
综上所述，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．
故答案为：（1）y＝ ，y＝2x+2；（2）存在，（﹣1，）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．
